Question

12．已知抛物线y²=2px（p＞0）过点（4，4），它的焦点F，倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l过点F且与抛物线两交点为A，B，点A在第一象限内．
（1）求抛物线和直线l的方程；
（2）求|AF|=m|BF|，求m的值．

Answer 1

分析 （1）抛物线y²=2px（p＞0）过点（4，4），代入，求出p，可得抛物线方程，求出焦点F（1，0），可得直线方程；
（2）y=$\sqrt{3}$（x-1）与抛物线方程联立，可得3x²-10x+3=0，求出A，B的横坐标，即可求m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）过点（4，4），
∴16=8p，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x，
焦点F（1，0），直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-1）；
（2）y=$\sqrt{3}$（x-1）与抛物线方程联立，可得3x²-10x+3=0，
∴x=$\frac{1}{3}$或3，
∴|AF|=3+1=4，|BF|=$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$，
∵|AF|=m|BF|，∴m=3．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．