Question

对于曲线C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4
④若曲线C表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k＜

5

2

下列选项正确的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据曲线方程的特点，结合椭圆双曲线的标准方程分别判断即可．

解答： 解：①当1＜k＜4且k≠

5

2

时，曲线表示椭圆，所以①错误；
②当k=

5

2

时，4-k=k-1，此时曲线表示圆，所以②错误．
③若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以③正确．
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

k-1＞0 4-k＞0 4-k＞k-1

，解得1＜k＜

5

2

，所以④正确．
故选B．

点评：本题主要考查圆锥曲线的方程，根据椭圆和双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键．