Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E，F在BC边上（不与B，C重合），∠EAF=45°，问以BE、EF、FC三条线段为边，是否总能构成直角三角形？请说明结论及理由．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：综合题,立体几何

分析：将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合，即形成的新△AE'C≌△AEB，AE'=AE，CE'=BE，连接E'F，证明△CE'F为RT△，E'F²=CE'²+FC²，即可得出结论．

解答： 解：将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合，即形成的新△AE'C≌△AEB，AE'=AE，CE'=BE．
∠E'AC=∠EAB，∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°．
连接E'F．则∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°
又∠EAF=45°，所以∠EAF=∠E'AF，
又AE'=AE，AF为公用边，
所以△E'AF≌△EAF，E'F=EF，
又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°，∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°，
所以△CE'F为RT△，E'F²=CE'²+FC²，
又CE'=BE，E'F=EF，EF²=BE²+FC²
所以以BE，EF，FC为边的三角形是直角三角形．

点评：本题考查三角形中的几何计算，考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．