Question

已知△ABC中，AB=BC=AP=1，∠ABC=120°，∠APC=150°．
（1）求三角形APB的面积S；
（2）求sin∠BCP的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）先利用余弦定理求得AC，进而在△ACP中利用正弦定理求得sin∠ACP的值，利用平方关系求得cos∠ACP，然后根据sin∠PAC=sin（30°-∠ACP）利用正弦的两角和公式求得sin∠PAC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
（2）根据（1）中求得的sin∠ACP和cos∠ACP，根据sin∠BCP=sin（30°+∠ACP）利用两角和与差的正弦函数求得答案．

解答： 解：
（1）在△ABC中，AC=

1+1-2×1×1×cos120°

=

3

，
在△ACP中，由正弦定理知：

AP

sin∠ACP

=

AC

sin∠APC

，
∴sin∠ACP=

AP•sin∠APC

AC

=

1× 1 2

3

=

3

6

，
∴cos∠ACP=

1- 1 12

=

33

6

，
sin∠PAC=sin（30°-∠ACP）=sin30°cos∠ACP-cos30°sin∠ACP=

1

2

×

33

6

-

3

2

×

3

6

=

33 -3

12

．
∴三角形面积S=

1

2

•AB•AP•sin∠PAC=

1

2

×1×1×

33 -3

12

=

33 -3

24

．
（2）sin∠BCP=sin（30°+∠ACP）=

1

2

×

33

6

+

3

2

×

3

6

=

33 +3

12

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角形恒等变换的应用．解题的关键是求得sin∠ACP，以此为中介分别求得sin∠PAC和sin∠BCP．