Question

已知函数f（x）=a（1-|x-1|），a为常数，且a＞1．
（1）证明函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
（2）当a=2时，讨论方程f（f（x））=m解的个数；
（3）若x₀满足f（f（x₀））=x₀，但f（x₀）≠x₀，则称x₀为函数f（x）的二阶周期点，则f（x）是否有两个二阶周期点，说明理由．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数对称的性质即可证明函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
（2）当a=2时，求出f（f（x））的表达式，利用数形结合即可得到结论；
（3）根据阶周期点的定义，分别求满足条件的x₀，即可得到结论．

解答： 解：（1）设点（x₀，y₀）为f（x）上任意一点，则
f（2-x₀）=a（1-|2-x₀-1|）=a（1-|1-x₀|）=a（1-|x₀-1|）=y₀=f（x₀），
所以，函数f（x）的图象关于直线x=1对称．…（4分）
（2）当a=2时，f（f（x））=

4x， x＜ 1 2 4-4x， 1 2 ≤x＜1 4x-4， 1≤x≤ 3 2 8-4x， x＞ 3 2

…（8分）
如图，当m＜0时，方程有2个解；
m=0时，方程有3个解；当0＜m＜2时，方程有4个解；当m=2时，方程有2个解．…（9分）
综合上述，当m＜0或m=2时，方程有2个解；
当m=0时，方程有3个解；当0＜m＜2时，方程有4个解．…（10分）
（3）因f（x）=

a(2-x)，x≥1 ax，x＜1

，
所以，当x≥1，f（f（x））=f（f（x））=a（1-|a（2-x）-1|）．
若a（2-x）-1≥0，即1≤x≤2-

1

a

，f（f（x））=2a-2a²+a²x；
若a（2-x）-1＜0，即x＞2-

1

a

，f（f（x））=a²（2-x）．
当x＜1，同理可得，

1

a

≤x＜1，f（f（x））=a（2-ax）；
当x≤

1

a

时，f（f（x））=a²x．
所以，f（f（x））=

a2x， x＜ 1 a a(2-ax)， 1 a ≤x＜1 2a-2a2+a2x， 1≤x≤2- 1 a a2(2-x)， x＞2- 1 a

…（14分）
从而f（f（x））=x有四个解：0，

2a

a2+1

，

2a

a+1

，

2a2

a2+1

…（16分）
又f（0）=0，f（

2a

a2+1

=

2a2

a2+1

≠

2a

a2+1

，
f（

2a

a+1

）=a（2-

2a

a2+1

）=

2a

a+1

，
f（

2a2

a2+1

）=a（2-

2a2

a2+1

）=

2a

a2+1

≠=

2a2

a2+1

，
所以只有

2a

a+1

，

2a2

a2+1

是二阶周期点．…（18分）

点评：本题主要考查函数对称性的证明以及函数方程根的个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．，综合性较强．