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    给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是
    		a2+b2
    的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（
    		2
    ，0），其短轴的一个端点到点F的距离为
    		3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程
    （Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求
    AB
    •
    AD
    的取值范围；
    （Ⅲ）在椭圆C的“准圆”上任取一点P（1，
    		3
    ），过点P作两条直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，且l1，l2分别与椭圆的“准圆”交于M，N两点．证明：直线MN过原点O．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（Ⅰ）由题意知c=
    		2
    ，a=
    		b2+c2
    =
    		3
    ，由此能求出椭圆C的方程和其“准圆”．
    （Ⅱ）由题意，设B（m，n），D（m，-n），（-
    		3
    ＜m＜
    		3
    ，则有
    m2
    3
    +n2=1    ，又A点坐标为（2，0），故
    AB
    =(m-2，n)    ，
    AD
    =(m-2，-n)    ，由此能求出
    AB
    •
    AD
    的取值范围．
    （Ⅲ）由已知条件证明l1⊥l2，由此得到MN是准圆的直径，从而能证明直线MN过原点O．
    解答： （Ⅰ）解：由题意知c=
    		2
    ，a=
    		b2+c2
    =
    		3
    ，解得b=1，
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    3
    +y2=1    ，其“准圆”为x2+y2=4．
    （Ⅱ）解：由题意，设B（m，n），D（m，-n），（-
    		3
    ＜m＜
    		3
    ，则有
    m2
    3
    +n2=1    ，
    又A点坐标为（2，0），故
    AB
    =(m-2，n)    ，
    AD
    =(m-2，-n)    ，
    ∴
    AB
    •
    AD
    =(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-
    m2
    3
    )
    =
    4
    3
    m2-4m+3    =
    4
    3
    (m-
    3
    2
    )2    ，
    又-
    		3
    ＜m＜
    		3
    ，∴
    4
    3
    (m-
    3
    2
    )2    ∈[0，7+4
    		3
    ）．
    ∴
    AB
    •
    AD
    的取值范围是[0，7+4
    		3
    ）．
    （Ⅲ）设P（s，t），则s2+t2=4，
    当s=±
    		3
    时，t=±1，则l1，l2其中之一斜率不存在，另一条斜率为0，
    ∴l1⊥l2．
    当t≠±
    		3
    时，设过P（s，t）且与有一个公共点的直线l的斜率为k，
    则l的方程为y-t=k（x-s），代入椭圆C的方程，得：
    x2+3[k（x-s）+t]2=3，即（3k2+1）x2-6k（t-ks）x+3（t-kt）2-3=0，
    由△=36k2（t-ks）2-4（3k2+1）[3（t-kt）2-3]=0，
    得（3-t2）k2+2stk+t2-3=0，其中3-t2≠0，
    设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2分别是上述方程的两个根，
    ∴k1k2=-1，∴l1⊥l2．
    综上所述，l1⊥l2，
    ∴MN是准圆的直径，∴直线MN过原点O．
    点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．
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    a
    |=10，|
    b
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    a
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    b
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