Question

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁； 
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥A₁-B₁CD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC₁⊥面ABC 得到CC₁⊥AC，从而得到AC⊥面BCC₁，故AC⊥BC₁．
（2）连接B₁C交BC₁于点E，则DE为△ABC₁的中位线，得到DE∥AC₁，从而得到AC₁∥面B₁CD．
（3）过C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB₁A₁，面积法求CF，求出三角形DB₁A₁的面积，代入体积公式进行运算．

解答： （1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC…（2分）
又∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．                                             …（5分）
（2）证明：设B₁C与BC₁交于点E，则E为BC₁的中点，连结DE，则在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，∴AC₁∥平面B₁CD．                        …（10分）
（3）解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
而CF=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
∵VA1-B1CD=VC-A1DB1，而S△DA1B1=

1

2

A1B1•AA1=5×4×

1

2

=10，
∴VA1-B1CD=

1

3

×10×

12

5

=8．                                                   …（14分）

点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A₁B₁D的距离是解题的难点．