Question

设函数，，，
（1）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且函数的极小值为，求的值；
（2）若，且，
①求证：； ②求证：在上存在极值点．

Answer 1

(1) ，.  (2) 在上是存在极值点

试题分析：
(1)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.
(2) ①对求导,带入与已知条件联立化简即可得到需要的不等式.
②求出,讨论a的取值范围,证明其中必有两者异号,则根据零点存在定理,即可证明有极值点.
试题解析：
（1），
依据题意得：，且．             2分
，得或．
如图，得,
∴，，
代入得，.              4分

（2）①．

．           8分
②，．
若，则，由①知，
所以在有零点，从而在上存在极值点．          10分
若，由①知;
又，
所以在有零点，从而在上存在极值点．……12分
若，由①知，，
所以在有零点，从而在上存在极值点．
综上知在上是存在极值点．                 14分