Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=

( 1 2 )x，0≤x＜2 log16x，x≥2

，若关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：确定函数f（x）的性质，可得关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t²+at+b=0必有两个根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（

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，1），根据根与系数之间的关系，即可得出结论．

解答： 解：由题意，f（x）在（-∞，-2]和[0，2]上是减函数，在[-2，0]和[2，+∞）上是增函数，
∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值

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，
|x|≥16时，f（x）≥1，
∴关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，
设t=f（x），
则方程t²+at+b=0必有两个根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（

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，1），
t₁+t₂=-a∈（

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，2），
则-2＜a＜-

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a∈（-2，-

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），
故答案为：-2＜a＜-

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点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确理解函数的性质是关键．