Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n满足关系式，（n≥2，n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…|u₂-u₁|≤M成立，称数列{u_n}为“差绝对和有界数列”，证明：数列{a_n}为“差绝对和有界数列”；

Answer 1

解：（1）当n≥2时，，

所以，
即，
所以2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1
即b_n+1-b_n=1，（n≥2），又b₂-b₁=2²•2×a₁=1
所以，b_n+1-b_n=1，n∈N⁺即{b_n}为等差数列
（2）
（3）由于|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=++…+
s_n-s_n＜
所以恒成立，
即[a_n]为“差绝对和有界数列”．
分析：（1）整理题设递推式得进而表示出S_n+1，进而根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1和a_n的递推式，整理得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1，进而根据b_n=2ⁿa_n，求得b_n+1-b_n=1，进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列．
（2）根据（1）中数列{b_n}的首项和公差，求得数列的通项公式，进而根据b_n=2ⁿa_n求得a_n．
（3）把a_n代入|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|中，利用利用错位想减法求得s_n-s_n＜，进而判断出以恒成立，根据“差绝对和有界数列”的定义，证明出数列{a_n}为“差绝对和有界数列”．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题和创造性思维的能力．