Question

17．在公比为m的等比数列{a_n}中，a₃=2，a₁+a₂+a₃=6．
（1）求m．
（2）求{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）公比为m的等比数列{a_n}中，a₃=2，a₁+a₂+a₃=6．可得${a}_{1}{m}^{2}$=2，${a}_{1}（1+m+{m}^{2}）$=6，解出即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2或a_n=$8×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）公比为m的等比数列{a_n}中，a₃=2，a₁+a₂+a₃=6．
∴${a}_{1}{m}^{2}$=2，${a}_{1}（1+m+{m}^{2}）$=6，
解得m=1，a₁=2或m=-$\frac{1}{2}$，a₁=8．
∴m=1，或m=-$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得：a_n=2或a_n=$8×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
①a_n=2时，na_n=2n．
∴{na_n}的前n项和T_n=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．
②a_n=$8×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．na_n=8n×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴{na_n}的前n项和T_n=8$[1+2×（-\frac{1}{2}）+3×（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n×（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$，
∴$-\frac{1}{2}$T_n=8$[-\frac{1}{2}+2×（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+n×$（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
∴$\frac{3}{2}{T}_{n}$=8$[1+（-\frac{1}{2}）+（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}-$n×$（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
∴T_n=$\frac{32}{9}$-$\frac{32+48n}{9}$×$（-\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．