Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线y=1与椭圆C的两交点间距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R（x₀，y₀）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问|OP|²+|OQ|²是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a²=4b²，由椭圆过点（4，1），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点到直线距离公式（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+（y₀²-4）=0，同理求得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+（y₀²-4）=0，则k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+（y₀²-4）=0的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）将直线OP和OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得P和Q点坐标，根据两点之间的距离公式|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²，由k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，即可求得|OP|²+|OQ|²为定值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
由直线过点（4，1），代入$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=5，则a²=20，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）证明：由直线OP：y=k₁x，直线OQ：y=k₂x，
由直线OP为圆R的切线，
$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{{k}_{1}^{2}+1}}$=2，（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+（y₀²-4）=0，
同理可得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+（y₀²-4）=0，
∴k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+（y₀²-4）=0的两个不相等的实根，
由x₀²-4≠0，△＞0，
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，
由R（x₀，y₀）在椭圆上，即y₀²=5-$\frac{1}{4}$x₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁•k₂为定值-$\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）经判断|OP|²+|OQ|²为定值，
（i）由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}=\frac{20}{1+4{k}_{1}^{2}}}\\{{y}_{1}^{2}=\frac{20{k}_{1}^{2}}{1+4{k}_{1}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴x₁²+y₁²=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$，
同理，得x₂²+y₂²=$\frac{20（1+{k}_{2}^{2}）}{1+4{k}_{2}^{2}}$，…13分
由k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，
得|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（1+{k}_{2}^{2}）}{1+4{k}_{2}^{2}}$，
=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（1+\frac{1}{16{k}_{1}^{2}}）}{1+\frac{1}{4{k}_{1}^{2}}}$，
=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（4{k}_{1}^{2}+\frac{1}{4}）}{4{k}_{1}^{2}+1}$，
=$\frac{25+100{k}_{1}^{2}}{1+4{k}_{1}^{2}}$=25，
∴丨OP丨²+丨OQ丨²为定值，定值为25．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．