Question

1．已知直线l过抛物线x=$\frac{1}{4}$y²的焦点F且与抛物线交于点A，B．
（1）求证：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0；
（2）当l斜率为$\frac{1}{2}$时，抛物线上是否存在点C使得△ABC是以C为直角的直角三角形？若存在，求出所有的点C，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程得y²-4my-4=0，利用韦达定理可证明；
（2）由已知可求得AB方程，与抛物线方程联立求得A，B坐标，假设抛物线上存在点C（t²，2t）使△ABC为直角三角形且C为直角，由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0可求得t值，从而可求得C点坐标，经验证可得答案．

解答 （1）证明：由题意知，抛物线x=$\frac{1}{4}$y²的焦点坐标为（ 1，0），
设直线AB的方程为x=my+1，
代入抛物线方程得y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
x₁•x₂=m²y₁•y₂+m（y₁+y₂）+1=1
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3＜0；
（2）解：AB方程：x-2y-1=0，代入抛物线y²=4x，求得A（9+4$\sqrt{5}$，4+2$\sqrt{5}$），B（9-4$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$），
假设抛物线上存在点C（t²，2t）使△ABC为直角三角形且C为直角，
此时$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0，所以t⁴-34t²-3=0，解得t²=17+2$\sqrt{73}$
则存在C（17+2$\sqrt{73}$，$\sqrt{17+2\sqrt{73}}$）使△ABC为直角三角形且C为直角．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量在判断三角形形状中的应用，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，属于中档题．