Question

10．若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则4x+y²的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由实数x，y满足x≥0，y≥0且x+2y=1，我们易将y用x表示，且易给出其取值范围，则4x+y²可表示为一个关于y的二次函数，结合二次函数在定区间上最值的求法，不难得到结果．

解答 解：由x≥0，y≥0，x+2y=1知0≤y≤$\frac{1}{2}$，
令Z=4x+y²=4-8y+y²=12（y-4）²-12，
由函数解析式得：y∈（-∞，4）时递减
所以当y=$\frac{1}{2}$时，Z=4x+y²有最小值$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 （1）解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，可分成三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．（2）二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力，所以历来为高考命题专家所青睐．解决最值问题的关键是与图象结合，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质．当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式、均值定理、配方法等．