Question

15．证明二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）在[-$\frac{b}{2a}$，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 采用定义法证明，先任取x₁，x₂∈[-$\frac{b}{2a}$，+∞），且x₁＜x₂，再求f（x₁）-f（x₂）的差，根据定义即可证明出．

解答 解：任取x₁，x₂∈[-$\frac{b}{2a}$，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）=a${{x}_{1}}^{2}$+bx₁+c，f（x₂）=a${{x}_{2}}^{2}$+bx₂+c，
f（x₁）-f（x₂）=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，而x₁＞-$\frac{b}{2a}$，x₂＞-$\frac{b}{2a}$，所以x₁+x₂＞-$\frac{b}{a}$，
又a＞0，所以a（x₁+x₂）＞（-$\frac{b}{a}$）•a=-b，从而a（x₁+x₂）+b＞0，
由此可知f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在[-$\frac{b}{2a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明，求关键是理解并掌握用定义法证明的规则及证明的步骤，用定义法证明其步骤是：任取，作差，整理，判号，得出结论，其中判号过程易错．