Question

7．平面上$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$|的范围是[$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$]，则|$\overrightarrow{b}$|的范围是[$\frac{1}{7}$，$\frac{3}{7}$]，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{{e}_{1}}$=2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，根据$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$的范围判断${\overrightarrow{a}}^{2}$，${\overrightarrow{b}}^{2}$，（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²的范围．

解答 解：设$\overrightarrow{{e}_{1}}$=2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{7}\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{7}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\overrightarrow{a}$²=$\frac{10}{49}$+$\frac{6}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{5}{49}$-$\frac{4}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$．（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=$\frac{17}{49}$-$\frac{8}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵-1≤$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$≤1，∴$\frac{4}{49}$≤${\overrightarrow{a}}^{2}$≤$\frac{16}{49}$，$\frac{1}{49}$≤${\overrightarrow{b}}^{2}$≤$\frac{9}{49}$，$\frac{9}{49}$≤（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²≤$\frac{25}{49}$．
∴$\frac{2}{7}$≤|$\overrightarrow{a}$|≤$\frac{4}{7}$，$\frac{1}{7}$≤|$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{3}{7}$，$\frac{3}{7}$≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|≤$\frac{5}{7}$．
故答案为[$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$]，[$\frac{1}{7}$，$\frac{3}{7}$]，[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长公式，用$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是解题关键，属于中档题．