Question

17．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．当n=1时，a₁=1；当n≥2时，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$，即可得出．
（2）b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
∴当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…$+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$+$\frac{n-1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$=n．
∴a_n=n²．
（2）证明：b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n≤$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1
∴S_n＜1．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．