Question

6．已知函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．
（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$sinxcosx=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$-x）]+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•cos（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sin2x=sin2（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sin2x=sin（$\frac{π}{2}$-2x）+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，
得到y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵0≤x≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
则-$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
即-1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，
即-1≤g（x）≤2，即函数g（x）的值域是[-1，2]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．