Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
（i）（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
（ii）T_n≤2$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）^{{2}^{n}-2}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，（n≥2），可得a_n-a_n-1=2^n-2，再利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）（i）把（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²展开即可证明；
（ii）由（i）可得：1+1＜$（1+\frac{1}{2}）^{2}$；$1+\frac{1}{2}$＜$（1+\frac{1}{{2}^{2}}）^{2}$，…，（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；再利用不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，（n≥2），
∴a_n-a_n-1=2^n-2，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+1
=$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$+1=2^n-1．
（2）证明：（i）（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{2n}}$＞1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
（ii）由（i）可得：1+1＜$（1+\frac{1}{2}）^{2}$；$1+\frac{1}{2}$＜$（1+\frac{1}{{2}^{2}}）^{2}$，…，（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²（n∈N^*）；
∴T_n≤$（1+\frac{1}{2}）^{2}$•$（1+\frac{1}{{2}^{2}}）^{2}$•…•$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}$$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）$≤2•$（1+\frac{1}{{2}^{2}}）^{{2}^{2}}$•…•（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）²≤2•$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）^{{2}^{n}-2}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”与等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．