Question

15．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=eⁿ（e为自然对数的底数）；
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若b_n=lna_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n=eⁿ，只要证明$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=非0常数即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=lna_n=n，可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n=eⁿ，
a₁=e，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{e}^{n+1}}{{e}^{n}}$=e，
∴数列{a_n}是首项为e，公比为e的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：b_n=lna_n=lneⁿ=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
其前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．