Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比数列．可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=16}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+2d-8）=（{a}_{1}+d-4）^{2}}\end{array}\right.$，解得a₁，d，即可得出．
（II）由（I）可得：a_n，S_n．可得b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ=（n+2）•2ⁿ．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比数列．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=16}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+2d-8）=（{a}_{1}+d-4）^{2}}\end{array}\right.$，解得a₁=6，d=4．
（II）由（I）可得：a_n=6+4（n-1）=4n+2，S_n=$\frac{n（6+4n+2）}{2}$=2n²+4n．
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ=$\frac{2{n}^{2}+4n}{2n}$$（\frac{4n+2-2}{2n}）^{n}$=（n+2）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3×2+4×2²+…+（n+2）•2ⁿ．
2T_n=3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ+（n+2）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+2）•2ⁿ⁺¹=4+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+2）•2ⁿ⁺¹=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．