Question

12．若x∈（0，l）时，不等式$m≤\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$恒成立，则实数m的最大值为4．

Answer 1

分析 要使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$≥m在（0，1）上恒成立，只需$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的最小值大于等于m即可，然后利用基本不等式求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的最值，即可求出m的取值范围，求出即可．

解答 解：∵x∈（0，1），
∴1-x∈（0，1），
∵x+（1-x）=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）[x+（1-x）]=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥2+2 $\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{x}{1-x}}$=4，
当且仅当 $\frac{1-x}{x}$=$\frac{x}{1-x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴m≤4，即实数m的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．