Question

10．已知f（x）=x${\;}^{-{t}^{2}+2t+3}$为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=log_a[a$\sqrt{f（x）}$-x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t的值，从而求f（x）的解析式；
（2）利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

解答 解：（1）∵在x∈（0，+∞）单调递增，
∴-t²+2t+3＞0，
即t²-2t-3＜0，得-1＜t＜3，
∵t∈z，
∴t=0，1，2，
若t=0，则f（x）=x³为奇函数，不满足条件．
若t=1，则f（x）=x⁴为偶函数，满足条件．
若t=2，则f（x）=x³为奇函数，不满足条件．
故f（x）的表达式为f（x）=x⁴；
（2）∵f（x）=x⁴，
∴g（x）=log_a[a$\sqrt{f（x）}$-x]=log_a（ax²-x）
设t=ax²-x，则y=log_at，
若g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，
则t=ax²-x和y=log_at的单调性相反，
若a＞1，则t=ax²-x在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=$-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≥4$，即a$≤\frac{1}{8}$，此时不满足条件．
若0＜a＜1，则t=ax²-x在区间[2，4]上是单调递增函数，则对称轴x=$\frac{1}{2a}≤2$，且当x=2时，t=4a-2＞0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥\frac{1}{4}}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及复合函数单调性之间的关系，利于换元法是解决本题的关键．