Question

8．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，A=2B，那么b的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）
• D． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由A=2B$＜\frac{π}{2}$，可得B＜$\frac{π}{4}$．由C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，可得B＞$\frac{π}{6}$，可得：cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），根据正弦定理可得范围b=$\frac{1}{cosB}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

解答 解：锐角△ABC中，∵A=2B$＜\frac{π}{2}$，
∴B＜$\frac{π}{4}$．
∵根据C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，可得B＞$\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，可得：cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴根据正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{2sinBcosB}$=$\frac{1}{cosB}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理，函数的单调性的应用，属于中档题．