Question

3．已知圆C经过抛物线y=x²-4x+3与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线2x-y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线y=x²-4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．

解答 解：（1）抛物线y=x²-4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）
所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是$\sqrt{5}$，
于是圆C的方程为（x-2）²+（y-2）²=5．…（6分）
（2）圆心C到直线2x-y+2=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$…（9分）
|AB|=2$\sqrt{5-\frac{16}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 此题考查了圆C的方程，考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．