Question

15．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，∠A=60°，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，则$\frac{2absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=（　　）

• A． -5$\sqrt{3}$
• B． -4$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$=4，由A=60°可得sin60°、cos60°、tan60°的值，可得tanB，进而可得sinB、cosB的值．利用诱导公式求得sinC的值，再利用正弦定理即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC．（2分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以，$\frac{2}{5}$sinAcosB=$\frac{8}{5}$sinBcosA，（5分）
可得$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$=4．（7分）
由A=60°，则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，tanA=$\sqrt{3}$，
可得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，进而可得cosB=$\frac{4\sqrt{19}}{19}$，sinB=$\frac{\sqrt{57}}{19}$．（10分）
故sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5\sqrt{57}}{38}$，
故：$\frac{2absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{2sinAsinBsinC}{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B-si{n}^{2}C}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{57}}{19}×\frac{5\sqrt{57}}{38}}{\frac{3}{4}+\frac{57}{361}-\frac{25×57}{38×38}}$=-5$\sqrt{3}$．（14分）
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．