Question

7．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），其前n项和为S_n．
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）•$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$，并记T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：T_n＜2（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 （1）利用a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$，求a₂，a₃的值，设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{n}^{2}+2n+1}$＜1，再进行放缩，利用叠加法即可证明．

解答 （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{2（{a}_{1}+1）}$=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{2{a}_{2}}{3（2{a}_{2}+1）}$=$\frac{1}{12}$，
设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$
∵a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$，
∴b_n+1-b_n=1，
∵b₁=2，
∴b_n=2+n-1=n+1，
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）证明：∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{n}^{2}+2n+1}$＜1，
∴c_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）•$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=（$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$）$\frac{{S}_{n}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=（$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$）（$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$+$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）＜2（$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$），
∴T_n＜2[（$\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{2}}}$）+…+（$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$）]=2（$\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$）=2（$\sqrt{2}$-$\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}$）＜2（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，正确放缩是关键．