Question

17．数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$，n=1，2，3，…，{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）当a₁=2时，a₂=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等比数列？证明你的推断；
（Ⅲ）如果a₁≠0，证明：${S_n}=\frac{{{a_1}-{a_{n+1}}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a₁=2时，代入计算，可得a₂；
（Ⅱ）利用反证法判断数列{a_n}不可能为等比数列；
（Ⅲ）利用数学归纳法进行证明．

解答 解：（Ⅰ）当a₁=2时，${a_2}=\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）设公比为q，则
∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$，
∴${{a}_{n}}^{2}$+1=$\frac{1}{q}$，
∴q=1，此时a_n=0，矛盾
∴数列{a_n}不可能为等比数列；
（Ⅲ）n=1时，左边=a₁，右边=$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}-\frac{{a}_{1}}{{{a}_{1}}^{2}+1}}{{a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{{a}_{1}}^{2}+1}}$=a₁，成立；
假设n=k时，结论成立，则S_k=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$，
n=k+1时，左边=S_k+a_k+1=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$+a_k+1=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}+{a}_{1}{{a}_{k+1}}^{2}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$
右边=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+2}}{{a}_{1}{a}_{k+2}}$=$\frac{{a}_{1}-\frac{{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}+1}}{{a}_{1}•\frac{{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}+1}}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}+{a}_{1}{{a}_{k+1}}^{2}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$
∴左边=右边，
综上，${S_n}=\frac{{{a_1}-{a_{n+1}}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．