Question

2．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x²+y²-6$\sqrt{3}$y=0所截得的弦长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，求出圆心到直线的距离d=$\frac{|9\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{9}{2}$，故弦长为2$\sqrt{27-\frac{81}{4}}$=3$\sqrt{3}$．

解答 解：原点且倾斜角为30°的直线的斜率等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即$\sqrt{3}$x-3y=0．
圆x²+y²-6$\sqrt{3}$y=0即x²+（y-3$\sqrt{3}$）²=27，表示以（0，3$\sqrt{3}$）为圆心，以3$\sqrt{3}$为半径的圆，
故圆心到直线的距离d=$\frac{|9\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{9}{2}$，故弦长为2$\sqrt{27-\frac{81}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心到直线的距离，是解题的关键．