Question

13．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）x+3a-4，x≤0}\\{{a}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$满足对任意实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． [$\frac{5}{3}$，2）
• C． （1，$\frac{5}{3}$）
• D． （1，$\frac{5}{3}$]

Answer 1

分析 由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0可知f（x）在R上是增函数，且f（x）在（-∞，0]上的最大值小于f（x）在（0，+∞）上的最小值．列出不等式组解出．

解答 解：∵$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0恒成立，∴f（x）在定义域上是增函数，
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，∴2-a＞0，即a＜2．且f（0）=3a-4．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴a＞1，且x→0⁺时，f（x）→1，
∵f（x）在R上是增函数，∴3a-4≤1，解得a≤$\frac{5}{3}$．
综上，a的取值范围是（1，$\frac{5}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的单调性，需要特别注意f（x）在不同定义域上最值的大小关系，属于中档题．