Question

14．设直线ax-y+3=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为2$\sqrt{3}$，则a等于0．

Answer 1

分析 先确定圆心和半径，然后利用圆中的垂径定理求得圆心到直线的距离，从而建立关于a的方程，即可求得a的值．

解答 解：圆（x-1）²+（y-2）²=4的圆心C（1，2），半径r=2
弦AB的中点为D，则|AD|=$\sqrt{3}$，由圆的性质得圆心到直线的距离d=1，
∴C到直线的距离为$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=1
即|a+1|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
平方得a²+2a+1=a²+1，
即2a=0，
解得：a=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，注意圆中的直角三角形的应用，避免联立直线与圆的方程，利用半径，半弦，圆心距之间的关系是解决本题的关键．