Question

19．在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（cosα，sinα），（cos∠ABC，sin∠ABC），（cos∠BCA，-sin∠BCA）．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{t}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，其中O为坐标原点，t为大于零的实数．S_△OAB，S_△OBC，S_△OCA分别表示△OAB，△OBC，△OCA的面积．
（1）若cos∠CAB=f（t），求f（t）的解析式；
（2）当f（t）取得最小值时，求S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB；
（3）若O在△ABC的内部（不含边界），由（2）的结果猜想：S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB是多少？（直接写出结果，不需给出演步骤）

Answer 1

分析 （1）用坐标表示出$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{t}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，列出方程，根据同角三角函数的关系消去α，得出f（t）；
（2）当t取最小值时，代入$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{t}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得出O为三角形的重心，根据重心的性质得出面积比；
（3）根据（2）的结果与系数的关系猜想答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{t}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴（cosα，sinα）+$\sqrt{t}$（cos∠ABC，sin∠ABC）+$\frac{1}{\sqrt{t}}$（cos∠BCA，-sin∠BCA）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-\sqrt{t}cos∠ABC-\frac{1}{\sqrt{t}}cos∠BCA}\\{sinα=-\sqrt{t}sin∠ABC+\frac{1}{\sqrt{t}}sin∠BCA}\end{array}\right.$，
将以上两式平方相加得：1=t+$\frac{1}{t}$+2（cos∠ABCcos∠BCA-sin∠ABCsin∠BCA）=t+$\frac{1}{t}$+2cos（∠ABC+∠BCA）=t+$\frac{1}{t}$-2cos∠CAB．
∴cos∠CAB=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）-$\frac{1}{2}$．
∴f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）-$\frac{1}{2}$．
（2）∵t＞0，∴f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）-$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．当且仅当t=$\frac{1}{t}$即t=1时，f（t）取得最小值．
当t=1时，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．∴O是△ABC的重心，∴S_△OBC=S_△OCA=S_△OAB=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
∴S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB=1：1：1．
（3）S_△OBC：S_△OCA：S_△OAB=1：$\sqrt{t}$：$\frac{1}{\sqrt{t}}$．

点评 本题考查了平面向量的运算，基本不等式的应用，三角函数的恒等变换，属于难题．