Question

8．若函数y=f（x）满足以下条件：①对于任意的x∈R，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y）；②x∈（0，+∞）时，f（x）∈（1，+∞）．
（1）求f（0）的值；
（3）求证：f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$（f（y）≠0）；
（3）判断f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）•f（0）=f（x），解之即可求得f（0）；
（2）利用f（x）=f[x-y+y]=f（x-y）f（y），即可证明结论；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＞x₂，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．

解答 （1）解：由题意可得f（x）•f（0）=f（x）
∴f（0）=1；
（2）证明：f（x）=f[x-y+y]=f（x-y）f（y），
∵f（y）≠0，
∴f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＞0
∴f（x₁-x₂）＞1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对于任意x∈R，f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=[f（$\frac{x}{2}$）]²≥0，
∵f（$\frac{x}{2}$）≠0，∴f（x）＞0
∴f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是增函数

点评 本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．