Question

20．如图△ABC中，已知点D在BC边上，且AD⊥AC，sin∠BAC=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．
（注：$sin（\frac{π}{2}+α）=cosα$）

Answer 1

分析 （I）通过垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．

解答 解：（Ⅰ）由AD⊥AC知，$sin∠BAC=sin（∠DAB+\frac{π}{2}）=cos∠DAB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（2分）
在△ABD中，由余弦定理知BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos∠BAD
即AD²-8AD+15=0，…（4分）
解得AD=3或AD=5
显然AB＞AD，故AD=3．…（6分）
（Ⅱ）由$cos∠DAB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$得$sin∠BAD=\frac{1}{3}$…（8分）
在△ABD中，由正弦定理知$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
故$sin∠ADB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（10分）
$cosC=cos（∠ADB-\frac{π}{2}）=sin∠ADB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．