Question

10．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{2}$cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若△ABC的面积S为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由cosC=$\frac{1}{3}$，可求sinC，利用两角和的正弦函数公式化简已知可得$\frac{1}{3}$sinB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$cosB，即可得解tanB的值；
（2）由tanB的值，可求sinB，cos，sinA的值，利用正弦定理可求b=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，利用三角形面积公式即可解得c的值．

解答 解：（1）∵cosC=$\frac{1}{3}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB=$\sqrt{2}$cosB．
∴$\frac{1}{3}$sinB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$cosB，
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{2}$．
（2）∵tanB=$\sqrt{2}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵sinA=$\sqrt{2}$cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}c}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}c}{2}$×c×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴解得：c=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．