Question

13．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD垂直AB于点E，线段EF垂直于BC，并反向延长交AD于点M．证明：M为AD中点．

Answer 1

分析 由弦CD⊥AB，EF⊥BC，∠A=∠C，得到ME=MD，再由∠D+∠A=∠AEM+∠DEM=90°，能证明M为AD中点．

解答 证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD垂直AB于点E，
线段EF垂直于BC，并反向延长交AD于点M，
∴弦CD⊥AB，EF⊥BC，
∴∠D+∠A=∠CEF+∠C=90°，
又∵∠A=∠C，∴∠CEF=∠D=∠DEM，
∴ME=MD，
又∵∠D+∠A=∠AEM+∠DEM=90°，
∴∠A=∠AEM，
∴ME=MA，∴M为AD中点．

点评 本题考查点为线段中点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理的合理运用．