Question

20．根据下列条件，求双曲线方程：
（1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5；
（2）已知双曲线经过点P（10，-3$\sqrt{3}$），且渐近线为y=±$\frac{3}{5}$x．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞0，b＞0，由顶点为6，求出a=6，由离心率是1.5，求出e=$\frac{c}{a}=1.5$，由此能求出双曲线方程．
（2）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，λ≠0，把P（10，-3$\sqrt{3}$）代入，能求出双曲线方程．

解答 解：（1）∵双曲线中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5，
∴设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞0，b＞0，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，c=9，b²=45，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{45}$=1．
（2）∵双曲线经过点P（10，-3$\sqrt{3}$），且渐近线为y=±$\frac{3}{5}$x，
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，λ≠0，
把P（10，-3$\sqrt{3}$）代入，得$λ=\frac{100}{25}-\frac{27}{9}$=1，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．