Question

3．参数a分别取何值时，关于x的方程$\frac{lo{g}_{a}x}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{lo{g}_{x}（2a-x）}{lo{g}_{x}2}$=$\frac{1}{lo{g}_{（{a}^{2}-1）}2}$，
（1）有解；
（2）仅有一解．

Answer 1

分析 （1）求出方程有意义时a的范围和x的范围，利用对数得运算性质整理方程解出x，判断解是否符合有意义的条件；
（2）若方程只有一解，则方程有意义且只有一解符合x的范围条件，列方程解出a．

解答 解：由式子有意义得0＜x＜2a，且x≠1．
∵$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{{a}^{2}-1＞0}\\{{a}^{2}-1≠1}\end{array}\right.$，解得a＞1且a$≠\sqrt{2}$．
∵$\frac{lo{g}_{a}x}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{lo{g}_{x}（2a-x）}{lo{g}_{x}2}$=$\frac{1}{lo{g}_{（{a}^{2}-1）}2}$，∴log₂x+log₂（2a-x）=log₂（a²-1）．即x（2a-x）=a²-1，x²-2ax+a²-1=0．解得x₁=a-1，x₂=a+1．
∵a＞1，∴x₂＞x₁＞0，2a-x₁＞2a-x₂=a-1＞0．又∵x₁，x₂不能同时等于1，
∴只要方程有意义，则方程必有解．∴a的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
（2）若方程只有一解，则x₁不是方程得解，∴x₁=1．解得a=2．

点评 本题考查了对数得运算性质，对数得意义，条件较多，不要漏掉条件，属于中档题．