(本题满分15分)已知在定义域上是奇函数,且在上是减函数,图像如图所示.
(1)化简:;
(2)画出函数在上的图像;
(3)证明:在上是减函数.
(1)
;
(2)图像
(3)函数在区间上是减函数.
解析试题分析:(I)由于f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以可知,因而所求式子的结果为0.
(II)根据奇函数的图像关于原点对称,直接可画出在对称区间[-b,-a]上的图像.
(III)利用函数的单调性的定义及函数的奇偶性进行证明.
第一步:取值,第二步:作差变形,第三步根据差值符号得到结论.
(1)
……
(2)图像……
(3)任取,且 ……
.
又函数在上是减函数,所以 . ……
因为是奇函数,所以,即,
故函数在区间上是减函数. …….
考点:函数单调性定义,函数的奇偶性,函数的图像.
点评:函数的奇偶性一要看定义域是否关于原点对称,二要看f(-x)与f(x)是相等还是互为相反数.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.利用函数的单调性定义证明分三个步骤:一取值,二作差变形,三判断差值符号.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,当,且时有.
(1)判断函数的单调性,并给予证明;
(2)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分) 如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=(>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=,绿地面积为.
(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)当AE为何值时,绿地面积最大? (10分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有.
(1)求证: 为奇函数;
(2)求证: 在上为单调递增函数;
(3)设,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.
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