Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=6，点在抛物线y²=x+1上；数列{b_n}中，点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．

（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；（文理共答）

（Ⅱ）若f（n）=，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）

（Ⅲ）对任意正整数n，不等式≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）

Answer 1

考点：

等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．

专题：

综合题；等差数列与等比数列．

分析：

（Ⅰ）将点代入抛物线y²=x+1，得a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n；过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，把点B_n（n，b_n）代入能求出b_n．

（Ⅱ）由f（n）==，利用题设条件能推导出存在唯一的k=4符合条件．

（Ⅲ）由﹣≤0，知a≤，设f（n+1）=，利用构造法能求出正数a的取值范围．

解答：

解：（Ⅰ）将点代入抛物线y²=x+1，

得a_n+1=a_n+1，

∴a_n+1﹣a_n=d=1，

∴a_n=a₁+（n﹣1）•1=n+5，

∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，

点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，

∴b_n=2n+1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）==，

当k为偶数时，k+27为奇数，

∴f（k+27）=4f（k），

∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．

当k为奇数时，k+27为偶数，

∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=（舍去）

综上所述，存在唯一的k=4符合条件．

（Ⅲ）由﹣≤0，

即a≤，

设f（n+1）=，

∴=

=

=

=，

∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，

∴f（n）_min=f（1）==，

∴0＜a≤．…（12分）

点评：

本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．