Question

【题目】若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，

结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其

求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min

≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案．

根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，

分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，

当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜

f（x）＜，

又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；

则在∈[6，8）上，f（x）=23f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，

则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；

对于函数 ，有g′（x）=﹣+x+1=，

分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，

若x1∈[6，8]，x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，

解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；

故答案为：B