Question

17．已知f（x） 是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，如果直线y=x+a与曲线y=f（x） 恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2k，2k+$\frac{1}{4}$]（k∈Z）
• B． （2k-$\frac{1}{4}$，2k）（k∈Z）
• C． （2k-$\frac{1}{2}$，2k）（k∈Z）
• D． （2k，2k+$\frac{1}{4}$）（k∈Z）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性先求出在一个周期[-1，1]内的表达式，作出函数f（x）与直线y=x+a的图象，根据两个函数恰好有3个不同的交点，利用数形结合建立不等式关系进行求解．

解答 解：∵f（x） 是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴若-1≤x≤0，则0≤-x≤1，则f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
即-1≤x≤1时，f（x）=x²，
∴x∈[2k-1，2k+1]，f（x）=（x-2k）²其图象如图所示
由于直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，在一个周期[-1，1]上，
a=0时直线y=x经过点A（1，1）时，直线与曲线只有2个交点，
当直线y=x+a与y=x²，在（0，1）内相切时，
有两个交点，
此时x²=x+a，即x²-x-a=0，
判别式△=1+4a=0，得a=-$\frac{1}{4}$时，
则在一个周期[-1，1]内，要使两个函数有3个交点，在满足-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
由于函数的周期是2k，
∴在定义域内，满足条件的a 应是（2k-$\frac{1}{4}$，2k），k∈Z．
故选：B．

点评 本题主要考查根的个数的应用，考查了函数的周期性、奇偶性、根的存在性及根的个数判断，利用数形结合是解决本题的关键．体现了数形结合思想的应用．