Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥CD，PA=AD，M、N分别为AB、PC的中点．求证：
（Ⅰ）MN∥平面PAD；
（Ⅱ）MN⊥CD；
（Ⅲ）MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点E，并连结NE、AE，证明四边形AMNE为平行四边形，可得AE∥MN，即可证明MN∥平面PAD；
（Ⅱ）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE又AE∥MN，即可证明MN⊥CD；
（Ⅲ）证明AE⊥平面PCD又AE∥MN，即可证明MN⊥平面PCD．

解答 证明：（Ⅰ）取PD中点E，并连结NE、AE，
∵M、N分别为AB、PC的中点
∴NE∥CD且$NE=\frac{1}{2}CD$，AM∥CD且$AM=\frac{1}{2}CD$，
∴AM∥NE且AM=NE，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴AE∥MN，
又∵AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．
又∵AE?在平面PAD，
∴CD⊥AE．
又∵AE∥MN，
∴MN⊥CD；
（Ⅲ）∵PA=AD，E为PD中点，
∴AE⊥PD，
又∵CD⊥AE，
∴AE⊥平面PCD．
又∵AE∥MN，
∴MN⊥平面PCD．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．