Question

7．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=1，线段AC₁的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 线段AC₁的三个视图所在的直线分别为AC，DC₁，AD₁，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AC₁的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值．

解答 解：如图，线段AC₁的三个视图所在的直线分别为AC，DC₁，AD₁，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），C₁（0，2，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，1），
设直线AC与DC₁所成角为α，AC与AD₁所成角为β，DC₁与AD₁所成角为γ，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosγ=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴线段AC₁的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查长方体中线段的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．