Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为棱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设点M是线段PC上的一点，PM=t PC，且PA∥平面MQB．
（ⅰ）求实数t的值；
（ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析 （1）PA=PD，连BD，四边形ABCD菱形，Q为 AD中点，证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）（ⅰ）连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=$\frac{1}{3}$的值，根据PA∥平面MQB，利用PA∥MN，说明三角形相似，求出t=$\frac{1}{3}$．
（ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答 解：（1）连BD，四边形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为 AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为 AD中点AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）（ⅰ）当t=$\frac{1}{3}$时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，
则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AC=$\sqrt{3}$a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，
$\frac{PM}{PC}=\frac{AN}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{3}}{\sqrt{3}a}\;=\frac{1}{3}$即：PM=$\frac{1}{3}$PC，t=$\frac{1}{3}$．
（1）∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，则B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），设M（a，b，c），
则$\overrightarrow{PM}$=（a，b，c-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∵PM=$\frac{1}{3}PC$，∴$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$，
∴a=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设平面MQB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{QM}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{QB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
又平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
由图知二面角M-BQ-C的平面角为锐角，
∴二面角M-BQ-C的大小为60°．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，以及二面角的求解，建立坐标系是解决本题的关键．考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．综合性较强，运算量较大．