Question

10．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=150°，∠BAC=60°，AC=2，AB=$\sqrt{3}$+1．
（I）求BC；
（Ⅱ）求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，使用余弦定理即可解出BC；
（II）在△ABC中，使用正弦定理解出sin∠ABC，结合角的范围可求∠ACD=75°，AD=AC=2，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=6，
所以BC=$\sqrt{6}$．…（4分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，则sin∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0°＜∠ABC＜120°，所以∠ABC=45°，从而有∠ACB=75°，
由∠BCD=150°，得∠ACD=75°，又∠DAC=30°，所以△ACD为等腰三角形，
即AD=AC=2，故S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$=1．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．