Question

18．已知sinα+sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求cosα+cosβ的最大值和最小值．

Answer 1

分析 cosα+cosβ=t，和已知式子两式平方相加结合三角函数的值域可得t的不等式，解不等式可得．

解答 解：设cosα+cosβ=t，两式平方相加可得：
sin²α+2sinαsinβ+sin²β+cos²α+2cosαcosβ+cos²β=$\frac{1}{2}$+t²，
∴2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=$\frac{1}{2}$+t²，
∴2+2cos（α-β）=$\frac{1}{2}$+t²，
∴cos（α-β）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{4}$∈[-1，1]，
解不等式可得-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤t≤$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴cosα+cosβ的最大值和最小值分别为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域和不等式的解法，属中档题．