Question

15．已知m，n为正实数，向量$\overrightarrow{a}$=（m，1），$\overrightarrow{b}$=（1-n，1），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，可得m+n=1．又m，n为正实数，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$，展开化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，∴m=1-n，即m+n=1．
又m，n为正实数，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当n=$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．