Question

20．如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：
（Ⅰ）若点G是$\widehat{BD}$的中点，证明：FG∥平面ACD；
（Ⅱ）求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示出E的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接OF，FG，OG，
∵F，O是BC，AB的中点，
∴FO∥AC，
∵FO?平面ACD，AC?平面ACD，
∴FO∥平面ACD，
∵∠DAB=$\frac{π}{3}$，且G是BD弧的中点，
∴∠BOG=$\frac{π}{3}$，则AD∥OG，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，
∵FO∩OG=O，FO，OG?平面FOG，
∴面FOG∥面ACD，
又FG?平面FOG，
∴FG∥平面ACD
（Ⅱ）如图，设H为弧DG的中点，建立以O为坐标原点，OH，OB，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=y+z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y=0，得$\left\{\begin{array}{l}{z=-y}\\{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$，
令y=-$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
同理可得平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$，
即平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．