Question

12．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{4}{7}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 不妨设|PF₂|＞|PF₁|，|PF₁|，2a-|PF₁|，2c成等差数列，从而得到|PF₁|=$\frac{4a-2c}{3}$，|PF₂|=$\frac{2a+2c}{3}$，由∠F₁PF₂=90°，得到|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4a-2c}{3}•\frac{2a+2c}{3}$=2b²，由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：∵F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，
∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，
∴不妨设|PF₂|＞|PF₁|，|PF₁|，2a-|PF₁|，2c成等差数列，
∴2（2a-|PF₁|）=|PF₁|+2c，
∴|PF₁|=$\frac{4a-2c}{3}$，|PF₂|=2a-$\frac{4a-2c}{3}$=$\frac{2a+2c}{3}$，
∵∠F₁PF₂=90°，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
又|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4a-2c}{3}•\frac{2a+2c}{3}$=2b²，
整理，得5a²-7c²-2ac=0，
∴7e²+2e-5=0，
解得e=$\frac{5}{7}$或e=-1（舍）．
∴椭圆的离心率是$\frac{5}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、等差数列、勾股定理、一元二次方程等知识点的合理运用．